Назва роботи: Циклічні групи
Предметна область: Математика та математичний аналіз
Опис: Визначення Група G називається циклічною, якщо всі її елементи є ступенями одного елемента. Приклади циклічних груп: Група Z цілих чисел із операцією складання. Група всіх комплексних коренів ступеня n із одиниці з операцією множення. Оскільки група є циклічною та елемент g = утворює.
Дата завантаження: 2014-09-12
Розмір файлу: 169 KB
Роботу завантажили: 9 чол.
Група G називається циклічною, якщо всі її елементи є ступенями одного елемента. Цей елемент g називається утворюючим циклічною групою G.
Приклади циклічних груп:
Група Z цілих чисел із операцією складання.
Група всіх комплексних коренів ступеня n із одиниці з операцією множення. Оскільки група є циклічною і елемент g= -утворюючий .
Ми бачимо, що циклічні групи можуть бути як кінцевими, так і нескінченними.
Нехай (G, *) - довільна група та довільний елемент. Безліч є циклічною групою з утворюючим елементом g. Вона називається циклічною підгрупою, породженою елементом g, а її порядок - порядком елемента g. По теоремі Лагранжа порядок елемента є дільником групи. Відображення
що діє за формулою : , очевидно
гомоморфізмом та її образ збігається з . Відображення сюр'єктивно тоді і тільки тоді, коли група G - циклічна та її утворює елемент. У цьому випадку називатимемо стандартним гомоморфізмом для циклічної групи G c обраної твірної g .
Застосовуючи у разі теорему про гомоморфізм, ми отримуємо важливе властивість циклічних груп : всяка циклічна група є гомоморфним чиномгрупи Z.
Оскільки , будь-яка циклічна група коммутативна і ми будемо використовувати адитивний запис, так що n-а ступінь g буде виглядати як ng і називатися n-кратним елемента g , а нейтральний елемент G ми називатимемо нулем і позначатимемо 0.
Умовимося ще про таке позначення. Якщо F довільна група, записана адитивно, то nF позначатиме підмножина, елементами якого є n-кратні елементів з F . Якщо група F комутативна, то nF - підгрупа F, оскільки n(x-y)=nx-ny.
Теорема про підгрупи групи Z
Якщо H - підгрупа групи Z , то H = nZ , де n - деяке невід'ємне ціле число і означає H - циклічна група з елементом, що утворює n.
Якщо H-тривіальна підгрупа, теорема правильна і n=0. Нехай H нетривіальна. У цьому випадку H містяться ненульові числа і протилежні до них, а значить і позитивні цілі. Позначимо найменше їх літерою n . Тоді. Якщо - будь-яке число, то розділивши m на n із залишком, отримаємо: m = kn+r, причому. Але тоді r=m-kn і отже r=0. Тому H = nZ, що й потрібно.
Якщо k 0 - будь-яке ціле, відображення певне формулою є ізоморфізмом і відображає підгрупу на підгрупу , а значить визначає ізоморфізм .
Теорема про структуру циклічних груп
Будь-яка нескінченна циклічна група ізоморфна Z. Будь-яка кінцева циклічна група порядку n ізоморфна Z/nZ.
Як було зазначено вище, будь-яка циклічна група G ізоморфна Z/H де H - деяка підгрупа Z . По попередній теоремі H = nZ, де. Якщо n=0 , G ізоморфна Z і, отже, нескінченна. Якщо n>0 , Z розбивається на n суміжних класів: nZ, nZ+1, nZ+2, . nZ+(n-1) і тому факторгрупа Z/H має порядок n.
Надалі групу Z/nZ будемо позначати. Зокрема, .
Зазначимо, що у наших позначеннях – тривіальна група.
Елементами кінцевої групи за визначенням є суміжні класи:
, які позначаються і називаються відрахуваннями по модулю n, а операція - додаванням по модулю n.
Теорема про підгрупи групи (n>0) .
Якщо підгрупа групи H , то H = причому n ділиться на m націло. Порядок H дорівнює = d, і отже.
Розглянемо стандартний гомоморфізм. K = - підгрупа Z і означає K=mZ для деякого цілого m. Звідси випливає, що H = . У цьому тому n=dm де d - ціле. По теоремі про гомоморфізм.
З доведених теорем випливає, що будь-яка підгрупа циклічної групи є циклічною. Ми бачимо також, що для кожного цілого d , що ділить порядок n кінцевої циклічної групи є і до того ж одно підгрупа порядку d , тобто для кінцевих циклічних груп справедлива теорема зворотна теоремі Лагранжа.
Подальше вивчення структури циклічних груп спирається однією результат про ділимості цілих чисел, який ми тепер і викладемо.
Нагадаємо, що для будь-яких цілих n та m визначено їх найбільший спільний дільник d=(n,m). Якщо n 0 і m 0 , то d - найбільше ціле число на яке без залишку діляться n і m . (0, m) = (m, 0) = m за визначенням. Числа, котрим ( n,m)=1 називаються взаємно простими.
Основна теорема теорії подільності.
Якщо числа n і m взаємно прості, можна підібрати таких цілих x і y , що xn+ym=1.
Оскільки числа n і m ненульові, nn+0m= 0 . Отже, серед чисел виду xn+ym є позитивні. Нехай s = xn + ym - найменше позитивне число цього виду. Припустимо, що s>1. Тоді s> (n, m) і тому або n або m (нехай n) не ділиться на s націло. Значить n=ks+r , де 0 0, числа і взаємно прості і подоведеної теореми для відповідних x і y маємо : , звідки слід сформульований результат.*
Теорема про порядки елементів кінцевих циклічних груп.
Нехай p0 будь-яке ціле. Відрахування групи має порядок v=n/(n,p).
Нехай (n, p) = d. Оскільки p/d - ціле число, маємо: ===, звідки випливає, що порядок не перевищує v. З іншого боку, якщо порядок дорівнює k то k = , тобто kp ділиться на n . По основній теоремі теорії подільності d=xn+yp і отже kd=kxn+ykp також поділяється на n. Але якщо k Конспект уроку