Раціональні числа— це цілі та дробові числа (звичайні дроби, кінцеві десяткові дроби та нескінченні періодичні дроби).
Є версія, що назва раціональних чисел пов'язана з латинським словом «ratio» - розум.
Нескінченні неперіодичні дроби НЕ входять до множини раціональних чисел.
Тому число «Пі» (π = 3,14. ), Основа натурального логарифму e (e = 2,718..) або √2 НЕ є раціональними числами.
Приклади раціональних чисел:
Багато раціональних чиселпозначається великою англійською літероюQ(к'ю). БезлічQвключає безліч цілих чисел (Z) і натуральних чисел (N).
Будь-яке раціональне число можна подати у вигляді дробу, у якого чисельник належить цілим числам, а знаменник — натуральним. a/b, де a ∈ Z (a належить цілим числам), b ∈ N (b належить натуральним числам).
Безліч ірраціональних чисел — це нескінченні неперіодичні дроби.
Приклади ірраціональних чисел:
(число Пі) π = 3,14159 ...
(підстава натурального логарифму) e = 2,71828…
Позначається безліч ірраціональних чисел великою англійською буквою [ай] -I.
Серед багатьох чисел ірраціональні числа займають особливе місце. Вони не входять до раціональних чисел.
Ірраціональні числа(на відміну від раціональних) неможливо уявити у вигляді дробу a / b , де a ∈ Z (a належить цілим числам), b ∈ N ( b належить натуральним числам ).
Натуральні числа- одне з найстаріших математичних понять.
У далекому минулому люди не знали чисел і, коли їм потрібно було перерахувати предмети (тварини, рибу тощо), вони робили це не так, якми зараз.
Кількість предметів порівнювали з частинами тіла, наприклад, з пальцями на руці і казали: "У мене стільки ж горіхів, скільки пальців на руці".
Згодом люди зрозуміли, що п'ять горіхів, п'ять кіз і п'ять зайців мають загальну властивість — їх кількість дорівнює п'яти.
Натуральні числа- це числа, починаючи з 1, одержувані за рахунку предметів. 1,2,3,4,5.
Найменше натуральне число- 1.
Найбільшого натурального числане існує.
При рахунку нуль не використовується. Тому нуль не вважається натуральним числом.
Записувати числа люди навчилися набагато пізніше, ніж рахувати. Раніше вони стали зображати одиницю однією паличкою, потім двома паличками — число 2, трьома — число 3
Потім з'явилися й спеціальні знаки для позначення чисел — попередники сучасних цифр. Цифри, якими ми користуємося для запису чисел, народилися в Індії приблизно 1500 років тому. В Європу їх привезли араби, тому їх називають арабськими цифрами.
Усього цифр десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. За допомогою цих цифр можна записати будь-яке натуральне число.
Натуральний ряд- це послідовність всіх натуральних чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 .
У натуральному ряду кожне число більше від попереднього на 1.
Натуральний ряд нескінченний, найбільшого натурального числа в ньому немає.
Систему рахунку (числення), яку ми користуємося, називають десятковою позиційною .
Десяткою тому, що 10 одиниць кожного розряду утворюють 1 одиницю старшого розряду. Позиційної тому, що значення цифри залежить від її місця у записі числа, тобто від розряду, у якому вона записана.
Розряди та класи (включаючи клас мільйонів) докладно розібрані нанашому сайті у матеріалах для початкової школи.
Якщо взяти десять сотень мільйонів, то отримаємо нову розрядну одиницю — один мільярд чи записи цифрами.
1 000 мільйонів = 1 000 000 000 = 1 млрд Десять таких одиниць – десять мільярдів, десять десятків мільярдів утворюють наступну одиницю – сто мільярдів.
Мільярди, десятки мільярдів та сотні мільярдів утворюють четвертий клас — клас мільярдів.
Розряди та класи натурального числа
Розглянемо натуральне число 783 502 197 048:
За допомогою таблиці розрядів прочитаємо це число. Для цього треба ліворуч по черзі називати кількість одиниць кожного класу і додавати назву класу.
Назва класу одиниць не вимовляють, також не вимовляють назву класу, якщо всі три цифри у його розрядах — нулі.
Тепер прочитаємо число 783502197048 з таблиці: 783 мільярда 502 мільйона 197 тисяч 48.
Будь - яке натуральне число можна записати у вигляді розрядних доданків .
Числа 1, 10, 100, 1000. Називаютьсярозрядними одиницями. З їх допомогою натуральне число записується у вигляді розрядних доданків. Так, наприклад, число 307898 буде виглядати у вигляді розрядних доданків.
307 898 = 300 000 + 7 000 + 800 + 90 + 8 Наступні за мільярдом класи названі відповідно до латинських найменувань чисел. Кожна наступна одиниця містить тисячу попередніх.
1 000 мільярдів = 1 000 000 000 000 = 1 трильйон («три» - латиною «три»)
1 000 трильйонів = 1 000 000 000 000 000 = 1 квадрильйон ("квадра" - латиною "чотири")
1 000 квадрильйонів = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 квінтильйон («квінта» — латиною «п'ять»)
Усі числа перерахувати неможливо, оскільки за кожним числом слід число на одиницю більше, аледуже великі числа у повсякденному житті не потрібні.
Однак, фізики знайшли число, яке перевищує кількість всіх атомів (найдрібніших частинок речовини) у всьому Всесвіті.
Це число отримало спеціальну назву - Гугол . Гугол — число, яке має 100 нулів.
На числовій осіцілі числавиглядають так:
Найбільшого та найменшого цілого числа не існує.
Натуральні числа також називають позитивними цілими числами, тобто слова "натуральне число" і "позитивне ціле число" означають те саме.
Звичайно, серед цілих чисел не може бути ні звичайних, ні десяткових дробів.
Багато цілих чиселпозначається великою літероюZ.
Безліч натуральних чисел (N) входить до множини цілих чисел (Z).
Дійсні числа- це раціональні та ірраціональні числа.
Оскільки будь-яке раціональне число може бути записано у вигляді кінцевого десяткового дробу або нескінченного періодичного дробу , а ірраціональні числа видаються нескінченними неперіодичними десятковими дробами, то озвучене визначення дійсних чисел можна переформулювати наступним чином.
Справжні числа- це числа, які можуть бути записані у вигляді кінцевого або нескінченного (періодичного або неперіодичного) десяткового дробу.
Отже, за визначенням дійсним числом є будь-яке раціональне, і навіть будь-яке ірраціональне число. Це дозволяє нам навестиприклади дійсних чисел. Наприклад, 5, 1056, -47, 3/7,, -5,36, 0,45 (175), -32,149382750. , e, π,, cos3, log 5 12 - це вседійсні числа. Число нуль також є дійсним числом, оскільки 0 раціональне число.
З визначення дійсних чиселслід, що є як позитивні, і негативні дійсні числа, а нуль – ні позитивне, ні негативне дійсне число.
Дійсні числа дозволяють описувати величини, значення яких можуть змінюватися безперервно, чого не дозволяють робити раціональні та ірраціональні числа окремо. Іншими словами, дійсні числа дають можливість чисельно виражати значення безперервно змінюється через одиничне (еталонне) значення цієї величини.
На закінчення цього пункту зауважимо, що дійсні числа також називають речовими.