Завдання про масу просторового тіла.
Лекція 3 Потрійний інтеграл.
Нехай є деяке просторове матеріальне тіло, що займає область V, у кожній точці якої задана об'ємна густина f(x, y, z). Потрібно обчислити масу просторового тіла.
Це завдання призводить до поняття потрійного інтегралу.
Введемо розбиття області V на елементарні області, що не мають загальних внутрішніх точок (умова А)Dvk з малим обсягом (позначення області та її обсягу зазвичай одне й те саме, це прийнято вже більше 200 років і не вносить плутанини).
На кожному елементі розбиття – елементарної області відзначимо точку Mk(xk, yk, zk). Обчислимо щільність у цій точці f(xk, yk, zk) = f(Mk) і припустимо, що щільність стала в елементарній області. Тоді маса елементарної області Dvk приблизно дорівнює = f (Mk). Підсумовуючи всі такі маси елементарних областей (складаючи інтегральну суму), наближено отримаємо масу області V
Для того, щоб точно обчислити масу області, залишається перейти до межі за умови (умова B).
.
Так завдання про масу просторової області призводить до потрійний інтеграл [7].
Введемо деякі обмеження на область інтегрування та підінтегральну функцію, достатні для існування інтеграла [8].
Вимагаємо, щоб функція f(M) була безперервна в області V та на її межі.
Вимагаємо, щоб область V була замкнутою, обмеженою, просторово-односвязной областю зі шматково-гладким кордоном.
Область назвемо просторово-односвязной, якщо її можна безперервною деформацією стягнути в крапку.
Теорема існування. Нехай область V і функція f(M)=f(x, y, z) задовольняють сформульованимвимог. Тоді потрійний інтеграл існує як межа інтегральних сум.
.
Зауваження.Межа ця не залежить[9]:
1) від вибору розбиття області, аби виконувалася умова А
2) від вибору зазначених точок на елементах розбиття
3) від способу подрібнення розбиття, аби виконувалася умова B.
1. Лінійність а) =+
б) = Ці властивості, як й у подвійного інтеграла, доводяться «через інтегральні суми». Складають інтегральну суму для інтегралів, що стоять у лівій частині рівності, в ній роблять потрібну операцію (це можливо, тому що кількість доданків звичайно) і отримують інтегральні суми для інтегралів у правій частині. Потім, за теоремою про граничний перехід у рівності, переходять до межі, і властивість доведена.
2. Адитивність (за безліччю) =+
Доказ проводиться, як і раніше, через інтегральні суми із застосуванням зауваження до теореми існування.
Розбиття вибирається і подрібнюється так, щоб межа областей V, W складалася з меж елементів розбиття (це можна зробити з огляду на зауваження). Тоді інтегральна сума для інтеграла в лівій частині рівності дорівнює сумі двох інтегральних сум, кожна для свого інтеграла в правій частині рівності. Переходячи до межі рівності, отримуємо необхідне співвідношення.
3. , де - обсяг області V. Інтегральна сума для інтеграла в лівій частині =
4. Якщо f(x, y, z) g(x, y, z), то ³. Переходячи до межі в нерівності (за теореми про перехід до межі в нерівності), отримаємо необхідне співвідношення.Слідство. Якщо f(x, y, z) ³0, то ³0.
5.Теорема про оцінку інтеграла. Якщо m £f(x, y, z) £M, то mV££MV. Інтегруючи нерівність m £f(x, y, z) £M, за якістю 4 отримаємо необхідненерівність.
6.Теорема про середнє. Нехай виконані вимоги теореми існування. Тоді Існує точка С в області V, така, що f(C) = .
Доведення. Так як функція безперервна на замкнутому обмеженому множині V, існує її нижня грань і верхня грань . Виконано нерівність. Ділячи обидві частини на отримаємо. Але число укладено між нижньою та верхньою гранню функції. Так як функція безперервна на замкнутій обмеженій множині, то в деякій точці функція повинна набувати цього значення. Отже, f(C) = .